Daloy at sirkulasyon ng isang vector field

NBatay sa mga materyales sa panayam ni Richard Feynman

Kapag inilalarawan ang mga batas ng kuryente sa mga tuntunin ng mga patlang ng vector, nahaharap tayo sa dalawang mahalagang tampok sa matematika ng larangan ng vector: pagkilos ng bagay at sirkulasyon. Mas mainam na maunawaan kung ano ang mga konseptong ito sa matematika at kung ano ang praktikal na kahulugan nito.

Ang ikalawang bahagi ng tanong ay madaling sagutin kaagad dahil ang mga konsepto ng daloy at sirkulasyon ay nasa puso ng Mga equation ni Maxwell, kung saan ang lahat ng modernong electrodynamics ay talagang nakasalalay.

Kaya, halimbawa, ang batas ng electromagnetic induction ay maaaring mabuo tulad ng sumusunod: ang sirkulasyon ng electric field E kasama ang isang closed loop C ay katumbas ng rate ng pagbabago ng flux ng magnetic field B sa pamamagitan ng surface S na nakatali nito. loop B.

Sa mga sumusunod, ilalarawan namin nang simple, gamit ang malinaw na mga halimbawa ng likido, kung paano tinutukoy ang mga katangian ng field sa matematika, kung saan kinukuha at nakuha ang mga katangian ng field na ito.

Vector field flux

Upang magsimula, gumuhit tayo ng isang tiyak na saradong ibabaw ng ganap na arbitraryong hugis sa paligid ng lugar na pinag-aaralan. Pagkatapos ilarawan ang ibabaw na ito, itatanong namin kung ang bagay ng pag-aaral, na tinatawag naming isang patlang, ay dumadaloy sa saradong ibabaw na ito. Upang maunawaan kung ano ito, isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa ng likido.

Sabihin nating sinisiyasat natin ang field ng bilis ng isang partikular na likido. Para sa gayong halimbawa, makatuwirang itanong: mas maraming likido ba ang dumadaan sa ibabaw na ito sa bawat yunit ng oras kaysa sa mga dumadaloy sa dami na nililimitahan ng ibabaw na ito? Sa madaling salita, ang rate ng pag-agos ay palaging pangunahing nakadirekta mula sa loob palabas?

Sa pamamagitan ng expression na "vector field flux" (at para sa aming halimbawa ang expression na "fluid velocity flux" ay magiging mas tumpak), kami ay sumasang-ayon na pangalanan ang kabuuang halaga ng haka-haka na likido na dumadaloy sa ibabaw ng itinuturing na volume na nililimitahan ng ibinigay na isang saradong ibabaw (para sa rate ng daloy ng likido, kung gaano karaming likido ang sumusunod mula sa volume bawat yunit ng oras).

Bilang isang resulta, ang pagkilos ng bagay sa pamamagitan ng elemento sa ibabaw ay magiging katumbas ng produkto ng lugar ng elemento ng ibabaw sa pamamagitan ng patayo na bahagi ng bilis. Pagkatapos ang kabuuang (kabuuang) flux sa buong ibabaw ay magiging katumbas ng produkto ng average na normal na bahagi ng bilis, na bibilangin natin mula sa loob palabas, sa pamamagitan ng kabuuang lugar sa ibabaw.

Ngayon bumalik sa electric field. Ang electric field, siyempre, ay hindi maituturing na bilis ng daloy ng ilang likido, ngunit may karapatan kaming magpakilala ng isang matematikal na konsepto ng daloy, katulad ng inilarawan namin sa itaas bilang ang daloy ng bilis ng likido.

Sa kaso lamang ng isang electric field, ang flux nito ay maaaring matukoy ng average na normal na bahagi ng lakas ng electric field E. Bilang karagdagan, ang flux ng electric field ay maaaring matukoy hindi kinakailangan sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw, ngunit sa pamamagitan ng anumang bounded surface ng nonzero area S .

Sirkulasyon ng isang vector field

Alam ng lahat na, para sa higit na kalinawan, ang mga patlang ay maaaring ilarawan sa anyo ng tinatawag na mga linya ng puwersa, sa bawat punto kung saan ang direksyon ng tangent ay tumutugma sa direksyon ng lakas ng field.

Bumalik tayo sa fluid analogy at isipin ang velocity field ng fluid. Tanungin natin ang ating sarili ng isang tanong: ang fluid ba ay umiikot? Iyon ay, gumagalaw ba ito lalo na sa direksyon ng ilang haka-haka na closed loop?

Para sa higit na kalinawan, isipin na ang likido sa isang malaking lalagyan ay gumagalaw sa paanuman (Larawan A) at bigla kaming nagyelo halos lahat ng dami nito, ngunit pinamamahalaang iwanang hindi nagyelo ang dami sa anyo ng isang pantay na saradong tubo kung saan walang alitan ng likido sa mga dingding (fig. b).

Sa labas ng tubo na ito, ang likido ay naging yelo at samakatuwid ay hindi na makagalaw, ngunit sa loob ng tubo ang likido ay maaaring magpatuloy sa paggalaw nito, sa kondisyon na mayroong isang umiiral na momentum na nagtutulak dito, halimbawa, sa direksyon ng orasan (Fig. . ° C). Pagkatapos ang produkto ng fluid velocity sa tube at ang haba ng tube ay tatawaging fluid velocity circulation.

Sa katulad na paraan, maaari nating tukuyin ang isang sirkulasyon para sa isang patlang ng vector, bagaman muli ang patlang ay hindi masasabing bilis ng anumang bagay, gayunpaman maaari nating tukuyin ang katangian ng matematika ng "circulation" sa isang tabas.

Kaya, ang sirkulasyon ng isang vector field kasama ang isang haka-haka na closed loop ay maaaring tukuyin bilang ang produkto ng average tangential component ng vector sa direksyon ng pagpasa ng loop - sa haba ng loop.