Mga Batayan at Batas ng Algebra ng Logic

Irish mathematician noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo George Bull binuo ang algebra ng lohika ("Pag-aaral ng mga batas ng pag-iisip"). Kaya ang algebra ng lohika ay tinatawag din boolean algebra.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga pagtatalaga ng titik, pagpapahayag ng mga operasyon ng mga lohikal na pagbabagong-anyo sa mga simbolo ng aksyon, at paggamit ng mga patakaran at axiom na itinatag para sa mga pagkilos na ito, ang algebra ng lohika ay nagpapahintulot sa proseso ng pangangatwiran sa paglutas ng isang problema na ibinigay sa mga tuntunin ng lohika ng pahayag na ganap na inilarawan sa mga algorithm. , ibig sabihin, magkaroon ng isang mathematically written program na lumulutas sa problemang ito.

Upang tukuyin ang katotohanan o kamalian ng mga pahayag (iyon ay, upang ipakilala ang mga halaga para sa pagsusuri ng mga pahayag), ang algebra ng lohika ay gumagamit ng isang binary system, na maginhawa sa kasong ito. Kung ang pahayag ay totoo, ito ay tumatagal ng halaga 1, kung ito ay mali, ito ay tumatagal ng halaga 0. Hindi tulad ng mga binary na numero, ang lohikal na 1 at 0 ay hindi nagpapahayag ng isang dami, ngunit isang estado.

Kaya, sa mga de-koryenteng circuit na inilarawan gamit ang Boolean algebra, kung saan ang 1 ay ang pagkakaroon ng boltahe at 0 ang kawalan nito, ang supply ng mga boltahe mula sa maraming mga mapagkukunan sa isang node ng circuit (iyon ay, ang pagdating ng ilang mga lohikal na yunit nito) ay ay nagpapakita rin bilang isang lohikal na yunit na nagpapahiwatig hindi ang kabuuang boltahe sa node, ngunit lamang ang presensya nito.

Kapag inilalarawan ang input at output signal ng logic circuit, ginagamit ang mga variable na kumukuha ng mga value na logical 0 o 1 lamang. Natutukoy ang dependence ng output signal sa input. lohikal na operasyon (function)… Tukuyin natin ang mga variable ng input sa pamamagitan ng X1 at X2, at ang output na nakuha sa pamamagitan ng isang lohikal na operasyon sa mga ito sa pamamagitan ng y.

Pag-isipan mo tatlong pangunahing lohikal na operasyon, sa tulong kung saan maaaring ilarawan ang mga nagiging kumplikado.

1. O operasyon — lohikal na karagdagan:

Dahil sa lahat ng posibleng halaga ng mga variable, maaaring tukuyin ng isa ang operasyon ng OR bilang ang sapat na hindi bababa sa isang yunit sa input upang makagawa ng isa sa output. Ang pangalan ng operasyon ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng semantikong kahulugan ng unyon OR sa parirala: «Kung ang OR ay isang input O ang pangalawa ay isa, kung gayon ang output ay isa.»

2. Operasyon AT — lohikal na pagpaparami:

Mula sa pagsasaalang-alang sa buong hanay ng mga halaga ng mga variable, ang operasyon ng AND ay tinukoy bilang ang pangangailangan na tumugma sa lahat ng mga nasa input upang makakuha ng isa sa output: "Kung ang AND ay isang input at ang pangalawa ay isa, kung gayon ang output ay isa. «

3. Operation NOT — logical negation o inversion. Ito ay ipinahiwatig ng isang bar sa itaas ng variable.

Kapag binaligtad, binabaligtad ang halaga ng variable.

Mga pangunahing batas ng lohikal na algebra:

1. Ang Batas ng Zero Set: ang produkto ng anumang bilang ng mga variable ay naglalaho kung alinman sa mga variable ay zero, anuman ang mga halaga ng iba pang mga variable:

2. Ang batas ng unibersal na hanay — ang kabuuan ng anumang bilang ng mga variable ay nagiging isa kung kahit isa sa mga variable ay may halaga ng isa, anuman ang iba pang mga variable:

3. Ang Batas ng Pag-uulit — ang mga paulit-ulit na variable sa expression ay maaaring tanggalin (sa madaling salita, walang exponentiation at multiplication sa pamamagitan ng numerical coefficient sa Boolean algebra):

4. Ang batas ng double inversion — ang inversion na ginawa ng dalawang beses ay isang walang laman na operasyon:

5. Batas ng complementarity — ang produkto ng bawat variable at ang kabaligtaran nito ay zero:

6. Ang kabuuan ng bawat variable at ang kapalit nito ay isa:

7. Mga Proteksiyon na Batas — ang resulta ng pagsasagawa ng pagpaparami at pagdaragdag ay hindi nakadepende sa pagkakasunud-sunod kung saan sumusunod ang mga variable:

8. Pinagsanib na mga Batas — sa panahon ng pagpaparami at pagdaragdag, ang mga variable ay maaaring pangkatin sa anumang pagkakasunud-sunod:

9. Mga Batas sa Pamamahagi — pinapayagang ilagay ang kabuuang koepisyent sa labas ng mga bracket:

10. Mga batas ng pagsipsip — magpahiwatig ng mga paraan upang pasimplehin ang mga expression na kinasasangkutan ng isang variable sa lahat ng mga kadahilanan at termino:

11. Mga batas ni De Morgan — ang inversion ng produkto ay ang kabuuan ng inversions ng mga variable:

ang inversion ng sum ay produkto ng inversions ng mga variable: