Ang batas ng Biot-Savart at ang theorem ng sirkulasyon ng magnetic induction vector

Noong 1820, ang mga Pranses na siyentipiko na sina Jean-Baptiste Biot at Félix Savard, sa kurso ng magkasanib na mga eksperimento upang pag-aralan ang mga magnetic field ng mga direktang alon, ay malinaw na itinatag na ang magnetic induction ng isang direktang kasalukuyang dumadaloy sa isang konduktor ay maaaring ituring na resulta ng pangkalahatang pagkilos ng lahat ng mga seksyon ng wire na ito na may kasalukuyang. Nangangahulugan ito na ang magnetic field ay sumusunod sa prinsipyo ng superposition (ang prinsipyo ng superposition ng mga patlang).

Ang magnetic field na nilikha ng isang pangkat ng mga DC wire ay may mga sumusunod magnetic inductionna ang halaga nito ay tinukoy bilang ang vector sum ng magnetic induction na nilikha ng bawat conductor nang hiwalay. Iyon ay, ang induction B ng direktang kasalukuyang konduktor ay maaaring medyo kinakatawan ng vector sum ng elementary inductions dB na kabilang sa elementarya na seksyon dl ng itinuturing na direktang kasalukuyang konduktor I.

Ito ay halos hindi makatotohanang ihiwalay ang isang elementarya na seksyon ng isang direktang kasalukuyang konduktor, dahil D.C. laging sarado.Ngunit maaari mong sukatin ang kabuuang magnetic induction na nilikha ng isang wire, iyon ay, nabuo ng lahat ng elementarya na bahagi ng isang ibinigay na wire.

Kaya, pinapayagan ka ng batas ng Biot-Sovar na mahanap ang halaga ng magnetic induction B ng seksyon (kilalang haba dl) ng konduktor, na may ibinigay na direktang kasalukuyang I, sa isang tiyak na distansya r mula sa seksyong ito ng konduktor at sa isang tiyak na direksyon ng pagmamasid mula sa napiling seksyon (itinakda sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng kasalukuyang at ang direksyon mula sa seksyon ng konduktor hanggang sa napagmasdan na punto sa espasyo malapit sa konduktor):

Eksperimento na itinatag na ang direksyon ng magnetic induction vector ay madaling matukoy ng right-hand screw o gimbal rule: kung ang direksyon ng translational movement ng gimbal sa panahon ng pag-ikot nito ay tumutugma sa direksyon ng direktang kasalukuyang I sa wire, kung gayon direksyon ng pag-ikot ng hawakan ng gimbal tinutukoy ang direksyon ng magnetic induction vector B na ginawa ng isang naibigay na kasalukuyang.

Ang magnetic field ng isang straight current-carrying wire, pati na rin ang isang paglalarawan ng aplikasyon ng batas ng Bio-Savart dito, ay ipinapakita sa figure:

Kaya, kung isasama natin, iyon ay, idagdag, ang kontribusyon ng bawat isa sa mga maliliit na seksyon ng isang palaging kasalukuyang konduktor sa kabuuang magnetic field, makakakuha tayo ng isang pormula para sa paghahanap ng magnetic induction ng isang kasalukuyang konduktor sa isang tiyak na radius R mula dito. .

Sa parehong paraan, gamit ang batas ng Bio-Savard, maaari mong kalkulahin ang mga magnetic induction mula sa mga direktang alon ng iba't ibang mga pagsasaayos at sa ilang mga punto sa espasyo, halimbawa, ang magnetic induction sa gitna ng isang pabilog na circuit na may kasalukuyang ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula:

Ang direksyon ng magnetic induction vector ay madaling matagpuan ayon sa gimbal rule, ngayon lang dapat paikutin ang gimbal sa direksyon ng closed current, at ang forward movement ng gimbal ay magpapakita ng direksyon ng magnetic induction vector.

Kadalasan ang mga kalkulasyon na may paggalang sa magnetic field ay maaaring gawing simple kung isasaalang-alang natin ang simetrya ng pagsasaayos ng mga alon na ibinigay ng patlang ng pagbuo. Dito maaari mong gamitin ang theorem ng sirkulasyon ng magnetic induction vector (tulad ng Gauss theorem sa electrostatics). Ano ang "circulation ng magnetic induction vector"?

Pumili tayo sa espasyo ng isang tiyak na closed loop ng arbitrary na hugis at may kondisyong ipahiwatig ang positibong direksyon ng paglalakbay nito. Para sa bawat punto ng loop na ito, makikita mo ang projection ng magnetic induction vector B sa tangent sa loop sa puntong iyon. Pagkatapos ang kabuuan ng mga produkto ng mga dami na ito sa pamamagitan ng elementarya na haba ng lahat ng mga seksyon ng contour ay ang sirkulasyon ng magnetic induction vector B kasama ang contour na ito:

Halos lahat ng mga alon na lumilikha ng isang pangkalahatang magnetic field dito ay maaaring tumagos sa circuit na isinasaalang-alang, o ang ilan sa mga ito ay maaaring nasa labas nito. Ayon sa circulation theorem: ang sirkulasyon ng magnetic induction vector B ng mga direktang alon sa isang closed loop ay ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng magnetic constant mu0 sa pamamagitan ng kabuuan ng lahat ng mga direktang alon na tumagos sa loop. Ang teorama na ito ay binuo ni Andre Marie Ampere noong 1826:

Isaalang-alang ang figure sa itaas. Dito, ang mga alon I1 at I2 ay tumagos sa circuit, ngunit sila ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon, na nangangahulugang mayroon silang magkakaibang mga palatandaan.Ang positibong pag-sign ay magkakaroon ng isang kasalukuyang na ang direksyon ng magnetic induction (ayon sa pangunahing panuntunan) ay tumutugma sa direksyon ng bypass ng napiling circuit. Para sa sitwasyong ito, ang circulation theorem ay tumatagal sa anyo:

Sa pangkalahatan, ang theorem para sa sirkulasyon ng magnetic induction vector B ay sumusunod mula sa magnetic field superposition na prinsipyo at sa batas ng Biot-Savard.

Halimbawa, nakukuha namin ang formula para sa magnetic induction ng isang direktang kasalukuyang konduktor. Pumili tayo ng isang contour sa anyo ng isang bilog, sa pamamagitan ng gitna kung saan ang wire na ito ay pumasa, at ang wire ay patayo sa eroplano ng contour.

Kaya ang gitna ng bilog ay namamalagi nang direkta sa gitna ng konduktor, iyon ay, sa konduktor. Dahil ang larawan ay simetriko, ang vector B ay nakadirekta nang tangential sa bilog, at ang projection nito sa tangent ay samakatuwid ay pareho sa lahat ng dako at katumbas ng haba ng vector B. Ang circulation theorem ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Samakatuwid, ang formula para sa magnetic induction ng isang tuwid na konduktor na may direktang kasalukuyang sumusunod (ang formula na ito ay naibigay na sa itaas). Katulad nito, gamit ang circulation theorem, ang isa ay madaling mahanap ang magnetic inductions ng simetriko DC configuration kung saan ang larawan ng mga linya ng field ay madaling makita.

Ang isa sa mga praktikal na mahalagang halimbawa ng aplikasyon ng circulation theorem ay ang paghahanap ng magnetic field sa loob ng isang toroidal inductor.

Ipagpalagay na mayroong isang toroidal coil na sugat na round-to-round sa isang donut na hugis na karton na frame na may bilang ng mga pagliko N. Sa pagsasaayos na ito, ang mga magnetic induction lines ay nakapaloob sa loob ng donut at concentric (sa loob ng bawat isa) na mga bilog sa hugis. .

Kung titingnan mo ang direksyon ng magnetic induction vector kasama ang panloob na axis ng donut, lumalabas na ang kasalukuyang ay nakadirekta sa lahat ng dako nang sunud-sunod (ayon sa panuntunan ng gimbal). Isaalang-alang ang isa sa mga linya (ipinapakita sa pula) ng magnetic induction sa loob ng coil at piliin ito bilang isang pabilog na loop ng radius r. Pagkatapos ang circulation theorem para sa isang ibinigay na circuit ay nakasulat bilang mga sumusunod:

At ang magnetic induction ng field sa loob ng coil ay magiging katumbas ng:

Para sa isang manipis na toroidal coil, kung saan ang magnetic field ay halos pare-pareho sa buong cross-section nito, posibleng isulat ang expression para sa magnetic induction na parang para sa isang walang katapusan na mahabang solenoid, na isinasaalang-alang ang bilang ng mga pagliko sa bawat yunit ng haba - n :

Isaalang-alang ngayon ang isang walang katapusang mahabang solenoid kung saan ang magnetic field ay ganap na nasa loob. Inilapat namin ang teorama ng sirkulasyon sa napiling hugis-parihaba na tabas.

Dito ang magnetic induction vector ay magbibigay ng non-zero projection lamang sa side 2 (ang haba nito ay katumbas ng L). Gamit ang parameter n — «ang bilang ng mga pagliko sa bawat haba ng yunit», nakakakuha kami ng ganoong anyo ng circulation theorem, na sa huli ay bumababa sa parehong anyo tulad ng para sa isang multitonCoy toroidal coil: