Bakit ginagamit ang mga kumplikadong numero para sa mga kalkulasyon sa mga AC circuit

Tulad ng alam mo, ang mga kumplikadong numero ay ginagamit upang malutas ang ilang karaniwang mga problema sa electrical engineering. Ngunit para saan ang mga ito at bakit ito ginagawa sa ganitong paraan? Ito ang susubukan naming maunawaan sa kurso ng artikulong ito. Ang katotohanan ay ang kumplikadong pamamaraan o ang paraan ng mga kumplikadong amplitude ay maginhawa para sa pagkalkula ng mga kumplikadong AC circuit. At para magsimula, alalahanin natin ang ilang mga pangunahing kaalaman sa matematika:

Tulad ng makikita mo, ang kumplikadong numero z ay kinabibilangan ng haka-haka na bahagi at ang tunay na bahagi, na naiiba sa bawat isa at naiiba ang tinutukoy sa teksto. Ang complex number z mismo ay maaaring isulat sa algebraic, trigonometriko o exponential form:

Makasaysayang background

Ito ay pinaniniwalaan na ang ideya ng mga haka-haka na numero ay nagsimula noong 1545, nang ang Italyano na matematiko, inhinyero, pilosopo, manggagamot at astrologo na si Girolamo Cardano ay naglathala ng pamamaraang ito ng paglutas ng mga equation sa kanyang treatise na "The Great Art", kung saan, ayon sa iba pa. , inamin niya na binigyan siya ni Niccolò ng ideya kay Tartaglia (isang Italyano na matematiko) 6 na taon bago ang paglalathala ng gawaing ito. Sa kanyang trabaho, nilulutas ni Kradano ang mga equation ng form:

Sa proseso ng paglutas ng mga equation na ito, napilitan ang siyentipiko na aminin ang pagkakaroon ng ilang "hindi tunay" na numero, ang parisukat na kung saan ay magiging katumbas ng minus isang «-1», iyon ay, na parang mayroong isang square root ng isang negatibong numero, at kung ito ay kuwadrado na ngayon, ay magiging katumbas na negatibong numero sa ilalim ng ugat. Sinabi ni Cardano ang panuntunan ng pagpaparami, ayon sa kung saan:

Sa loob ng tatlong siglo, ang komunidad ng matematika ay nasa proseso ng pagsanay sa bagong diskarte na iminungkahi ni Cardano. Ang mga haka-haka na numero ay unti-unting umuuga, ngunit ang mga mathematician ay nag-aatubili na tanggapin. Hanggang sa paglathala ng mga gawa ni Gauss sa algebra, kung saan pinatunayan niya ang pangunahing teorama ng algebra, na sa wakas ay ganap na natanggap ang mga kumplikadong numero, malapit na ang ika-19 na siglo.

Ang mga haka-haka na numero ay naging isang tunay na lifesaver para sa mga mathematician dahil ang pinaka-kumplikadong mga problema ay naging mas madaling lutasin sa pamamagitan ng pagtanggap ng pagkakaroon ng mga haka-haka na numero.

Kaya hindi nagtagal ay dumating ito sa electrical engineering. Ang mga AC circuit ay minsan napakakumplikado at maraming integral ang kinailangang kalkulahin upang kalkulahin ang mga ito, na kadalasang napaka-abala.

Sa wakas, noong 1893, ang makinang na electrical engineer na si Carl August Steinmetz ay nagsalita sa Chicago sa International Electrotechnical Congress na may ulat na "Mga kumplikadong numero at ang kanilang aplikasyon sa electrical engineering", na talagang minarkahan ang simula ng praktikal na aplikasyon ng mga inhinyero ng kumplikadong pamamaraan ng pagkalkula ng mga electric circuit para sa kasalukuyang AC.

Alam natin ito mula sa kursong pisika alternating current — ito ay isang agos na nagbabago sa paglipas ng panahon sa parehong magnitude at direksyon.

Sa teknolohiya, mayroong iba't ibang anyo ng alternating current, ngunit ang pinaka-karaniwan ngayon ay ang alternating sinusoidal current, ito ang ginagamit sa lahat ng dako, sa tulong ng kung saan ang kuryente ay ipinapadala, sa anyo ng alternating current, na nabuo, na-convert ng mga transformer at natupok ng mga load. Pana-panahong nagbabago ang sinusoidal current ayon sa sinusoidal (harmonic) na batas.

Ang mga epektibong halaga ng kasalukuyang at boltahe ay mas mababa kaysa sa mga halaga ng amplitude ng ugat ng dalawang beses:

Sa kumplikadong pamamaraan, ang mga epektibong halaga ng mga alon at boltahe ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Tandaan na sa electrical engineering, ang imaginary unit ay tinutukoy ng letrang «j», dahil ang letrang «i» ay ginagamit na dito upang tukuyin ang kasalukuyang.

Mula sa Batas ng Ohm tinutukoy ang kumplikadong halaga ng paglaban:

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga kumplikadong halaga ay ginagawa sa algebraic form, at multiplikasyon at paghahati sa exponential form.

Isaalang-alang natin ang paraan ng mga kumplikadong amplitude gamit ang halimbawa ng isang tiyak na circuit na may ilang mga halaga ng pangunahing mga parameter.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang mga kumplikadong numero

Ibinigay:

• boltahe ng coil 50 V,

• resistor resistance 25 Ohm,

• coil inductance 500 mH,

• ang de-koryenteng kapasidad ng kapasitor ay 30 microfarads,

• paglaban ng coil 10 Ohm,

• dalas ng mains 50 Hz.

Hanapin: ammeter at voltmeter readings pati na rin ang wattmeter.

Sagot:

Upang magsimula, isinulat namin ang kumplikadong paglaban ng mga elemento na konektado sa serye, na binubuo ng mga tunay at haka-haka na bahagi, pagkatapos ay nakita namin ang kumplikadong paglaban ng isang aktibong-inductive na elemento.

Naaalala! Upang makuha ang exponential form, hanapin ang modulus z na katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng tunay at haka-haka na mga bahagi, at phi na katumbas ng arctangent ng quotient ng haka-haka na bahagi na hinati ng tunay na bahagi.

Pagkatapos ay nakita namin ang kasalukuyang at, nang naaayon, ang mga pagbabasa ng ammeter:

Kaya ang ammeter ay nagpapakita ng isang kasalukuyang ng 0.317 A-iyan ang kasalukuyang sa buong serye ng circuit.

Ngayon ay makikita natin ang capacitive resistance ng capacitor, pagkatapos ay matutukoy natin ang kumplikadong paglaban nito:

Pagkatapos ay kinakalkula namin ang kabuuang kumplikadong impedance ng circuit na ito:

Ngayon nakita namin ang epektibong boltahe na inilapat sa circuit:

Ang voltmeter ay magpapakita ng epektibong boltahe na 19.5 volts.

Sa wakas, nakita namin ang kapangyarihan na ipapakita ng wattmeter, na isinasaalang-alang ang pagkakaiba ng bahagi sa pagitan ng kasalukuyang at boltahe

Ang wattmeter ay magpapakita ng 3.51 watts.

Ngayon naiintindihan mo na kung gaano kahalaga ang mga kumplikadong numero sa electrical engineering. Ginagamit ang mga ito para sa maginhawang pagkalkula ng mga de-koryenteng circuit. Maraming mga elektronikong kagamitan sa pagsukat ang gumagana sa parehong batayan.