Mga Batas ng Contact Circuit Algebra, Boolean Algebra

Ang isang analytical record ng istraktura at mga kondisyon ng pagpapatakbo ng mga relay circuit ay ginagawang posible na magsagawa ng analytical na katumbas na mga pagbabagong-anyo ng mga circuit, iyon ay, sa pamamagitan ng pagbabago ng mga pormula ng istruktura, paghahanap ng mga scheme na katulad sa kanilang operasyon. Ang mga paraan ng conversion ay partikular na ganap na binuo para sa mga istrukturang formula na nagpapahayag ng mga contact circuit.

Para sa mga contact circuit, ang mathematical apparatus ng algebra of logic ay ginagamit, mas tiyak, isa sa pinakasimpleng varieties nito, na tinatawag na proposition calculus o Boolean algebra (pagkatapos ng mathematician ng huling siglo na si J. Boole).

Ang propositional calculus ay orihinal na binuo upang pag-aralan ang dependence (ang katotohanan o kamalian ng mga kumplikadong paghatol sa katotohanan o kamalian ng mga simpleng proposisyon na bumubuo sa kanila. Sa esensya, ang propositional calculus ay isang algebra ng dalawang numero, iyon ay, isang algebra sa na ang bawat indibidwal na argumento at bawat function ay maaaring magkaroon ng isa sa dalawang halaga.

Tinutukoy nito ang posibilidad ng paggamit ng Boolean algebra upang baguhin ang mga circuit ng contact, dahil ang bawat argumento (mga contact) na kasama sa structural formula ay maaaring tumagal lamang ng dalawang halaga, iyon ay, maaari itong sarado o buksan, at ang buong function na kinakatawan ng structural ang formula ay maaaring magpahayag ng alinman sa isang sarado o isang bukas na loop.

Ipinakilala ng Boolean algebra ang:

1) mga bagay na, tulad ng sa ordinaryong algebra, ay may mga pangalan: mga independiyenteng variable at function — gayunpaman, hindi tulad ng ordinaryong algebra, sa Boolean algebra, pareho lang ang maaaring tumagal ng dalawang value: 0 at 1;

2) mga pangunahing pagpapatakbo ng lohika:

• lohikal na karagdagan (o disjunction, lohikal O, na tinutukoy ng tanda ?), na tinukoy bilang mga sumusunod: ang resulta ng operasyon ay 0 kung at kung ang lahat ng mga argumento ng operasyon ay katumbas ng 0, kung hindi man ang resulta ay 1;

• logical multiplication (o concatenation, logical AND, denoted by ?, or not specified at all) na kung saan ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang resulta ng operasyon ay 1 kung at kung ang lahat ng mga argumento ng operasyon ay katumbas ng 1, kung hindi man ang resulta ay 0;

• negation (o vice versa, logical NOT, na ipinahiwatig ng isang bar sa itaas ng argumento), na tinukoy bilang mga sumusunod: ang resulta ng operasyon ay may kabaligtaran na halaga ng argument;

3) axioms (mga batas ng Boolean algebra), na tumutukoy sa mga patakaran para sa pagbabago ng mga lohikal na expression.

Tandaan na ang bawat isa sa mga lohikal na operasyon ay maaaring isagawa kapwa sa mga variable at sa mga function, na kung saan ay tatawagin na Boolean function sa ibaba... Alalahanin na, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa ordinaryong algebra, sa Boolean algebra, ang operasyon ng lohikal na multiplikasyon ay nangunguna sa lohikal karagdagang operasyon.

Ang mga expression ng Boolean ay nabuo sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga lohikal na operasyon sa isang bilang ng mga bagay (mga variable o function), na tinatawag na mga argumento ng operasyon.

Ang pagbabagong-anyo ng mga lohikal na expression gamit ang mga batas ng Boolean algebra ay karaniwang isinasagawa na may layuning mabawasan, dahil mas simple ang expression, mas maliit ang kumplikado ng logic chain, na siyang teknikal na pagpapatupad ng lohikal na expression.

Ang mga batas ng Boolean algebra ay ipinakita bilang isang hanay ng mga axiom at kahihinatnan. Ang mga ito ay maaaring masuri nang simple sa pamamagitan ng pagpapalit ng iba't ibang mga halaga ng mga variable.

Ang teknikal na analogue ng anumang lohikal na expression para sa isang Boolean function ay isang logic diagram... Sa kasong ito, ang mga variable kung saan nakasalalay ang isang Boolean function ay konektado sa mga panlabas na input ng circuit na ito, ang halaga ng isang Boolean function ay nabuo sa panlabas na output ng circuit, at ang bawat lohikal na operasyon sa isang lohikal na isang expression ay ipinatupad ng isang lohikal na elemento.

Kaya, para sa bawat hanay ng mga input signal sa output ng logic circuit, isang signal ang nabuo na tumutugma sa halaga ng isang boolean function ng set ng mga variable na ito (sa susunod, gagamitin namin ang sumusunod na convention: 0 — mababang antas ng signal , 1 — mataas na antas ng signal).

Kapag nagtatayo ng mga logic circuit, ipagpalagay namin na ang mga variable ay ipinadala sa input sa isang paraphase code (iyon ay, parehong direkta at kabaligtaran na mga halaga ng mga variable ay magagamit).

Ang talahanayan 1 ay nagpapakita ng maginoo na mga graphic na pagtatalaga ng ilang mga elemento ng lohika alinsunod sa GOST 2.743-91, pati na rin ang kanilang mga dayuhang katapat.

Bilang karagdagan sa mga elemento na nagsasagawa ng tatlong operasyon ng Boolean algebra (AT, O, HINDI), sa tab. Ipinapakita ng 1 ang mga elemento na nagsasagawa ng mga operasyong nagmula sa pangunahing:

— AT -HINDI — negasyon ng lohikal na multiplikasyon, tinatawag ding Schaefer move (na tinutukoy ng |)

— OR -NOT — negasyon ng lohikal na pandagdag, na tinatawag ding Peirce's arrow (na tinutukoy ng ?)

Sa pamamagitan ng serially connecting logic gates nang magkasama, maaari mong ipatupad ang anumang Boolean function.

Ang mga istrukturang formula na nagpapahayag ng mga relay circuit sa pangkalahatan, ibig sabihin, na naglalaman ng mga simbolo ng tumutugon na mga agila, ay hindi maaaring ituring bilang mga function ng dalawang halaga na nagpapahayag lamang ng closed o open circuit. Samakatuwid, kapag nagtatrabaho sa gayong mga pag-andar, lumilitaw ang isang bilang ng mga bagong dependency na lumalampas sa mga limitasyon ng Boolean algebra.

Sa Boolean algebra, mayroong apat na pares ng mga pangunahing batas: dalawang displacement, dalawang combinatorial, dalawang distributive, at dalawang legal na inversion. Ang mga batas na ito ay nagtatatag ng pagkakapareho ng iba't ibang mga expression, ibig sabihin, isinasaalang-alang nila ang mga expression na maaaring palitan para sa isa't isa tulad ng pagpapalit ng mga pagkakakilanlan sa ordinaryong algebra. Bilang simbolo ng equivalence, kinukuha natin ang simbolo na kapareho ng simbolo ng pagkakapantay-pantay sa ordinaryong algebra (=).

Ang bisa ng mga batas ng Boolean algebra para sa mga contact circuit ay itatatag sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga circuit na tumutugma sa kaliwa at kanang bahagi ng mga katumbas na expression.

Mga batas sa paglalakbay

Upang idagdag: x + y = y + x

Ang mga schematic na nauugnay sa mga expression na ito ay ipinapakita sa Fig. 1, a.

Ang kaliwa at kanang mga circuit ay karaniwang bukas na mga circuit, ang bawat isa ay nagsasara kapag ang isa sa mga elemento (X o Y) ay na-trigger, iyon ay, ang mga circuit na ito ay katumbas. Para sa multiplikasyon: x ·y = y ·NS.

Ang mga schematic na nauugnay sa mga expression na ito ay ipinapakita sa Fig. 1b, kitang-kita din ang kanilang pagkakapareho.

kanin. 1

Mga Batas ng Kumbinasyon

Para sa karagdagan: (x + y) + z = x + (y + z)

Para sa pagpaparami: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Ang mga pares ng katumbas na mga circuit na naaayon sa mga expression na ito ay ipinapakita sa Fig. 2, a, b

kanin. 2

Mga Batas sa Pamamahagi

Multiplikasyon laban sa pagdaragdag: (x + y) +z = x + (y + z)

Pagdaragdag vs Multiplikasyon. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Ang mga schematic na nauugnay sa mga expression na ito ay ipinapakita sa Fig. 3, a, b.

kanin. 3.

Ang pagkakapareho ng mga scheme na ito ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa iba't ibang kumbinasyon ng contact actuation.

Mga batas ng pagbabaligtad

Dagdag pa: NS + c = NS·c

Ang bar sa itaas ng kaliwang bahagi ng expression ay isang negation o inversion sign. Ang sign na ito ay nagpapahiwatig na ang buong function ay may kabaligtaran na kahulugan na may paggalang sa expression sa ibaba ng negation sign. Hindi posibleng gumuhit ng diagram na tumutugma sa buong inverse function. Ngunit maaaring gumuhit ng diagram na tumutugma sa expression sa ilalim ng negatibong sign. Kaya, ang formula ay maaaring ilarawan sa mga diagram na ipinapakita sa Fig. 4, a.

kanin. 4.

Ang kaliwang diagram ay tumutugma sa expression na x + y, at ang kanan sa NS ·c

Ang dalawang circuit na ito ay kabaligtaran sa bawat isa sa pagpapatakbo, lalo na: kung ang kaliwang circuit na may hindi nasasabik na mga elemento X, Y ay isang bukas na circuit, kung gayon ang kanang circuit ay sarado. Kung sa kaliwang circuit, kapag ang isa sa mga elemento ay na-trigger, ang circuit ay nagsasara, at sa kanang circuit, sa kabaligtaran, ito ay bubukas.

Dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng negatibong sign, ang function na x + y ay ang kabaligtaran ng function na x + y, kung gayon ay malinaw na ang x + y = NS·in.

Tungkol sa multiplikasyon: NS · c = NS + c

Ang kaukulang mga scheme ay ipinapakita sa fig. 4, b.

Translocative at combinational at mga batas at ang distributive law ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan (tumutugma sa mga katulad na batas ng ordinaryong algebra).Samakatuwid, sa kaso ng pagbabago ng mga pormula sa istruktura sa pagkakasunud-sunod ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga termino, paglalagay ng mga termino sa labas ng mga bracket at pagpapalawak ng mga bracket, maaari mong sundin ang mga panuntunang itinatag para sa pagtatrabaho sa mga ordinaryong algebraic na expression. Ang distributive law of addition na may kinalaman sa multiplication at ang mga batas ng inversion ay partikular sa Boolean algebra.